Archive | Meester Jan RSS for this section

NIVEAU WISKUNDE ONDERWIJS BLIJFT DALEN

NIVEAU WISKUNDE ONDERWIJS BLIJFT DALEN

NIVEAU NEDERLANDS ONDERWIJS DAALT VERDER

 

De OECD heeft de resultaten bekendgemaakt betreffende de staat van het onderwijs in vele landen. Uiteraard is er veel belangstelling voor deze resultaten. Een aantal landen willen hun plaats in de top behouden. Anderen komen met gerichte programma’s die als doel hebben het peil omhoog te brengen. Duitsland en Polen zijn hiervan voorbeelden waarbij de stijging der resultaten aanvankelijk indrukwekkend was, althans tijdelijk.

Deze week was het weer zover. En de resultaten vielen niet mee. Kijk even naar de drie grafieken voor taal, wiskunde en science (wetenschap en techniek).

De trend is schrikbarend duidelijk: ‘alles’ gaat achteruit. Dit komt niet als een verrassing. Al in 2003 werd er een uitgebreide analyse gedaan van met name de resultaten van wiskunde. Van de OECD landen stond Nederland op de derde plaats: na Finland (ja, Finland!!!) en Korea. Maar in datzelfde rapport wordt al geconstateerd dat het niveau lijkt te dalen .

De Staatssecretaris heeft uiteraard al onderzoek aangekondigd. Maar dat lijkt tamelijk overbodig omdat het rapport van 2003 al behartenswaardige aanbevelingen doet. Heel kort geformuleerd:

-Meer aandacht voor formele en abstracte aspecten onderwijs (v.b. Vlaanderen)

-Meer aandacht voor hogere vaardigheden zoals probleem oplossen (v.b. Korea en Finland)

-Meer uitdagend en probleem-georiënteerd onderwijs op het vmbo. Daarbij dient het taalaspect extra aandacht te krijgen.

-Nader onderzoek naar dalende trend (dus reeds in 2003!)

Deze analyse werd uitgevoerd op verzoek van het Ministerie, maar heeft voor de oplettende lezer tot geen enkele actie geleid. Maar goed. Een kniesoor die niet blij is met de aangekondige nieuwe analyse.

Wellicht is het dienstig ook nog kennis te nemen van een persoonlijke analyse uit 2009. Als voorzitter van de internationale expertcommissie wiskunde was ik in de gelukkige positie om een diepere inhoudelijk analyse te doen. Dat hield in dat gekeken kon worden naar de prestaties van Nederlandse leerlingen op alle (geheime) opgaven.

De voorspelling dat de prestaties zouden dalen werd ruimschoots waar gemaakt. En zoals we nu bevestigd zien is de voorspelling van 2009 dat ‘we’ verder zouden dalen ook weer overtuigend uitgekomen.

De analyse van 2009 is wel gepresenteerd (op de Nationale Wiskunde Dagen) maar niet gepubliceerd. Maar het is misschien nuttig enkele bevindingen in de vorm van aanbevelingen te formuleren. Scheelt de nieuwe commissie wellicht wat tijd.

–       De dalende trend is zeer zorgelijk: vooral op het VMBO is het niveau van wiskundige geleerdheid treurig en teruglopend

–       Nederlandse leerlingen blijven zwak in formele en abstracte wiskunde

–       Nederlandse leerlingen blijven zwak in probleem oplossen en andere hogere vaardigheden (tegenwoordig is het trendy om deze vaardigheden 21st century skills te noemen.

–       De meisjes hadden in 2006 qua prestatie niveau de jongens ‘te pakken’. Maar in 2009 vielen ze weer terug, met name in de wat complexere opgaven.

–       De resultaten van de mindere presteerders is relatief goed, maar voor de betere leerlingen is dit juist niet het geval.

–       Het alom geroemde Finland is geen haar beter dan Nederland in wiskunde. (Inmiddels is Nederland Finland voorbij).

–       Het onderwijs moet daarom meer authentiek en probleem georiënteerd worden. En met name meer uitdagend.

De lezer ziet dat het probleem vooral geformuleerd is in termen van inhoud en in relatie tot de verwachte prestaties van de leerlingen. Dat dit een kansrijke manier is om tot betere prestaties te komen hebben Duitsland en Polen bewezen. Na de schokkend slechte prestaties uit de beginjaren van PISA (vanaf 2000) heeft men met inhoudelijk projecten (verandering van de aangeboden wiskunde) grote stappen voorwaarts gezet. Met als waarschuwing: na deze stimulatie projecten vielen de resultaten weer wat terug.

Onlangs was er weer positieve aandacht voor Finland wonderland. In dit geval ging het over iets heel alledaags: in de bovenbouw van de middelbare scholen gaat men meer projectonderwijs doen. Opzienbarend?

Kijk ten slotte eens naar de prestatie van Finland in vergelijking met Nederland:

Blauw is Nederland vanaf 2003, oranje is Finland. Minder, minder, minder. En omgerekend scoren de Nederlandse kinderen van 15 jaar minder dan een 6 min. Finland en Nederland moeten zich schamen: de leerlingen wordt ernstig tekort gedaan. Dekker: wakker worden!

 

Jan de Lange

Em. hoogleraar Universiteit Utrecht

Voorzitter Internationale Expertgroep PISA Wiskunde van 1999-2010.

Met de Taxi van New York naar Pascal

New York is voor bijna alle kinderen een magische stad. De plattegrond alleen al: alle straten staan loodrecht op elkaar:

 

Min of meer ‘verticaal’ zie je je 2e, 3e en 5e Avenue. En horizontaal: 60e, 57e Straat. Even beroemd als dit stratenpatroon is de gele New York Taxi. De chauffeurs kunnen vrijwel nooit langs een rechte lijn van A naar B rijden, maar volgen vaak een zigzag route. Kijk maar eens naar het volgende kaartje:

 

Je staat op het station en moet naar het punt rechtsonder. De kinderen worden uitgedaagd te kijken op hoeveel manieren de taxi van het station naar rechtsonder kan rijden. Eerst een kleine interactieve exploratie helpt dan vaak. B.v.: op hoeveel manieren kan ik bij die ‘4’ komen? “Hé!” is de gebruikelijke reactie “Op vier manieren!”. Toeval, die 4 daar?  Nu hoef je niets meer te zeggen: ze duiken op het probleem om hun vermoedens te kunnen bevestigen. En ja, je kunt op 20 manieren van het Station naar rechtsonder! Het eerste ‘wonder’.

 

Vervolgens kijken we gezamenlijk even naar de linker bovenkant van dit vierkant. Zo ongeveer:

En dat gaan we dan draaien over zo’n 45 graden. Dan wordt het plaatjes dus ongeveer zo:

Nu gaat er voor de leerlingen een geheel nieuwe wereld open. De taxi wordt even vergeten want hier zien we weer heel mooie structuren. Zonder veel aanmoedigingen rolt de ene na de andere suggestie door de klas.

“Langs de randen heb je alleen enen”, “Binnen de rand zie je gewoon de getallen” volgt al heel snel. Bedoeld wordt hier: 1, 2, 3, 4, ……En ook al weten ze niet welke namen de volgende getallen reeks heeft, ze zien ze wel: 1, 3, 6, …..(de driehoeksgetallen). Maar zoveel zinnen, zoveel ideeën:” ik weet al hoe het werkt: die 10 is de som van de 4 en de 6 er vlak boven!”.

De suggestie om b.v. de even-getallen hokjes te kleuren wordt al snel opgevolgd. En de opmerkingen zijn weer niet van de lucht. Ja, die meneer Pascal heeft heel wat op zijn geweten, ook voor die aardige kinderen van 6 jaar oud. Maar ook wordt er aan de onderkant verfent verder gebouwd: de ene na de andere rij wordt aan de onderkant bijgetekend: en met heel verschillende strategieën. Weer een nieuw wonder!

 

De volgende les begint bij het verzamelen van de onderzoeksresultaten die de kinderen thuis weer hebben ontdekt. Maar dan neemt Meester Jan de draad weer op; we gaan op weer een andere manier naar Pascal kijken. Op zoek naar weer een wonder.

 

Zorgvuldig trekken alle leerlingen eenzelfde lijn, en later enkele meer. Ze tellen de getallen op die lijn bij elkaar op.Het resultaat:

 

Een jongen die al drie jaar bij Meester Jan de lessen volgt raakt plotselinge geheel van streek. Ze armen gaan omhoog. ‘Dat is, dat is, dat is…. Die Nautilus… Fibonacci!”. (Zie helemaal onderaan een verslag van die les). De kinderen die de “Nautilus activiteit” niet hebben gedaan willen wel eens wat meer weten. Dus op uitdrukkelijk verzoek wordt de Nautilus er weer bij gehaald. En de vermenigvuldiging van konijnen: dit was tenslotte het model waaraan Fibonacci zijn faam heeft te danken. Althans, zeker voor deze kinderen:

 

Ja, hoor, daar staan ze: aan de rechterkant staan: 1, 1, 2, 3, 5, ,……. Net als boven bij de driehoek van Pascal! Drie wiskunde wonderen in zo’n korte tijd. Ach, wat een prachtvak is de wiskunde toch. Pardon: wat een pracht kinderen zitten er toch op onze scholen!

Coriolisstroop

Na het mooie ervaringen met hoogtekaarten zou nu de stap naar de veel abstractere weerkaarten moeten gaan gebeuren. Eerst een korte terugblik om te kijken of er nog wat was blijven hangen van de hoogtekaarten. Nou dat zat wel goed. Verbazend goed eigenlijk. Dus gezwind naar de weerkaarten. Eerst maar eens de kaart van gisteren (11 december 2012)tevoorschijn getoverd, met dank aan de prachtige website van de Belg Ruben Weytens  (http://www.rubenweytjens.be/waarnemingen.html).

Zo ziet deze eruit:

Uiteraard gaat de discussie nu over het weer van gisteren: ja, er was niet veel wind, dat klopte wel. Veel uitleg was volstrekt overbodig: dat zie je toch zo: Bij Nederland liggen de hoogtelijnen immers niet zo dicht bij elkaar. Ne voor een flinke wind moest je ‘daar’ zijn: de weerman van dienst wees geheel correct naar de Riviera. Stevig briesje daar. Na nog een weerkaartje wordt ook de naam van de hoogtelijnen genoemd: isobaren.

Langzaam gaan we naar het volgende achterliggende concept: hoe gaat de wind nu eigenlijk van hoog naar laag. Eerst een schetskaartje van een Franse meteoroloog:

Een  vrouwelijk evenknie uit de groep legt even uit wat we nu eigenlijk zien. Een kaartje met isobaren. En ook pijltjes die van hoog naar laag gaan; loodrecht op de isobaren. Logisch, want zo zou een knikker naar beneden rollen. Maar er is iets bijzonders met die pijltjes: hoe dichter die isobaren bij elkaar liggen, hoe langer het pijltje. Dat zagen ‘best wel’ veel kinderen al heel snel zelf. Dat komt vooral door de korte pijltjes bij B  en  E: de hoogtelijnen liggen daar ook wel ver van elkaar.

Tja: die pijltjes geven eigenlijk de ‘gradiënt’  aan: de helling aldaar. De interesse van de kinderen verflauwd voor geen moment. Juist het authentieke karakter van het schetsje lijkt goed uit te pakken. Zijn ze klaar voor de grote verwarring?

 

De vorige les hadden we aan het eind een stukje video getoond van de watersnoodramp van 1 Februari 1953,. Nu komt de weerkaart van die dag op het scherm:

Je ‘ziet’ de storm als het ware voor je eigen gen: de isobaren liggen verschrikkelijk dicht bij elkaar boven de Noordzee. Hoe kan dat nou?

Urenlang had ik geëxperimenteerd. Thuis, met een mooie grote wereldbol. Het idee: als ik een wat dikkere vloeistof vanaf de pool naar beneden liet stromen, terwijl de bol de goed richting opdraaide dan, wellicht,………… Leuk idee. Limonade was te waterig. Olijolie was ook geen succes. Ah!  Fietsketting olie? Iets beter, maar dat ging hem ook niet worden. Ik keek nog eens vorsend in de keukenkastjes. Pannenkoekensiroop? Ja! Het kan werken, maar dan moet alles meezitten zeg ik bij voorbaat. In de engroep ging het geweldig, in de andere wat stroperiger. Maar overtuigend: Ja:

De stroop, pardon de wind wijkt sterk af naar rechts, en zelfs zover dat de wind bijna evenwijdig gaat lopen aan de isobaren.

De wind draait naar rechts weg vanuit het Hogedrukgebied en draait vervolgens ook zo het Lagedrukgebied binnen. En dat komt door de Corioliskracht, veroorzaakt door het draaien der aarde. De stroop was het bewijs.

Hoge Nood

Al weer jaren geleden mocht ik optreden samen met Flip de Beer. Prachtige beelden aan het eind. Heel leuke ervaring, en nog steeds in de klas vertoond.

http://www.schooltv.nl/beeldbank/clip/20090709_flipindeluchtballon01

 

 

Weer & Wind

Hongerig naar het nieuwe onderwerp druppelen de leerlingen van de onderbouw binnen. Het onderwerp staat al op het scherm: WEER & WIND. Dat lijkt wel leuk. Maar ze worden gelijk al op het verkeerde been gezet: we gaan het eerst hebben over HOOG & LAAG, en dan vooral in relatie tot de bergen en dalen in de natuur. Als inleiding wordt een klien videootje getoond van Mount Kinabalu, een prachtige berg in Sabah, Maleisië. Sabah is niet erg bekend bij veel volwassenen (het is een deel van Kalimantan, voorheen Borneo) en al helemaal niet bij jonge kinderen. Dat maakt het alleen maar spannender.

 

 

http://www.youtube.com/watch?v=pWTq4WBh264&feature=fvsr

Mount Kinabalu is populair en mooi om verschillende redenen: je krijgt bij een beklimming zo beetje alle klimaatzones te zien: beneden tropisch regenwoud, boven een kale rots, met twee toppen boven 4000 meter. Een andere reden is de relatief makkelijke klim naar boven. Tenslotte: het schitterende uitzicht vanaf de top bij zonsopgang: je hebt de Philipijnen aan je voeten.

Het is handig om eerst maar eens een kaart te bekijken met daarop de route. Dat doen we dan ook in de groep:

 

 

http://mappery.com/map-of/Mt-Kinabalu-Trail-map

Zo’n kaart maakt veel los, vooral als het oog valt op de getalletjes 10 000, 10 500, 11 000 enzovoorts. “Zo zie je dat je omhoog gaat”, valt al gauw. Moet je natuurlijk wel even vertellen dat het hier om de hoogte in voeten gaat. Gelijk maar even het ezelsbruggetje erbij: voeten maal drie geeft meters, en omgekeerd. De twee bergpieken worden al snel gezien: de hoogste, Low’s Peak, meet 13 455 feet. Gelijk even controleren of het ezelsbruggetje enigszins klopt; op de kaart staat dat 13 455 feet gelijk is aan 4101 meter. 13 455  :  3  = 4485 meter. Flink meer, maar qua orde van grote in orde.

Ook de jonge kinderen (vanaf 6 jaar) zien heel snel het verband tussen hoogtelijnen die dicht bij elkaar liggen en steilheid van de klim. Geen kunst aan. Grote getallen, gekoppeld aan het wiskundig begrip helling of steilheid? Geen probleem.

Vervolgens passeren een paar mooie plaatjes in de PowerPoint. Ze tonen het verband tussen de drie dimensionale wereld en hoe die zelfde wereld met hoogtelijnen tot leven gebracht kan worden. Eén daar van laat een zij-en bovenaanzicht zien van een berg:

 

 

http://www.nrcan.gc.ca/earth-sciences/geography-boundary/mapping/topographic-mapping/10131

Het is toch wel opmerkelijk dat ook de jonge kinderen zo makkelijk met allerlei begrippen kunnen omgaan in deze haast tastbare context. Dat wordt straks nog spannend als we naar Hoge en Lage drukgebieden gaan. Die zijn toch een stuk minder tastbaar. Maar de gevolgen kunnen wel erg fysiek gevoeld worden.

Na uitgebreide discussies over hoogtelijnen, hellingen, steile en minder steile routes op kaarten, aan de hand van die hoogtelijnen, is het tijd voor een uitdaging. Ze krijgen een kaartje met hoogtegetallen, en de vraag is of ze er hoogtelijnen in kunnen tekenen. Lijkt eenvoudig, toch:

 

Met groot enthousiasme, gepaard gaande aan een zekere onderschatting, gaan de leerlingen aan de slag en komen dan o.a. tot deze kaart:

 

 

Al snel zien een aantal leerlingen dat het snijden van hoogtelijnen niet kan: ”want dan heb je punt met twee hoogtes”. Dat gaat dus niet. Alhoewel de volgende ‘oplossing’ ook niet perfect is, is het totaal beeld al aardig wat het moet zijn:

 

 

Het was weer een prachtige les. Het gaat te ver om te zeggen dat we functies van twee variabelen hebben geïntroduceerd. Maar dat de kinderen heel leuk met wiskunde zijn bezig geweest, al is het maar in het voorportaal, is toch weer mooi meegenomen. Bij ieder punt in het vlak (met coördinaten) wordt een hoogte toegevoegd. En dat gaan we verder uitbouwen in een meer abstracte context: het weer. Daarover de volgende keer.

De Maya’s rekenen verder

 

De onderbouw kinderen komen stralend en huppelend de zaal in: leuk, weer Maya’s! Maar ja, was er nog wel wat blijven hangen van de vorige keer? Gewoon eens vragen. Dat was wel nodig, want er waren enkele nieuwe kinderen bij gekomen. Dus lieten we een vrijwilliger het 20 tallig getalsysteem van de Maya’s nog een keertje uitleggen. Opvallend was daarbij dat het principe van grote-passen-snel-thuis werd gehanteerd; het werd duidelijk een opbrengstgerichte les. Heel leuk om dat aan te zien, kinderen vanaf groep 3.

Daan, die het even uitlegde, had de volgende tekening van 99 gemaakt;

Hij deed het met een jaloersmakend gemak. Vandaar nog maar even terug naar dit getal, met maar liefst vier ‘verdiepingen’:

Dat is dus een fluitje van een cent:

En dat deze leerlingen nauwelijks grote getallen in de rekenles hebben gezien, lijkt hun nauwelijks te deren. De grote getallen schallen door het lokaal. De leerkracht en ik kijken elkaar met glimmende ogen aan.

Maar ja, nu de wat lastiger kant: hoe kan je onze getallen nu herschrijven in Maya notatie? Het getal dat ze willen is 719. En al heel snel wordt opgemerkt dat je van de bovenste verdieping naar beneden moet: eerst kijken hoeveel 400 ’s erin gaan ( duidelijk maar 1), vervolgens houd je 319 over. Daar past 20 maximaal 15 keer in, op het nippertje, maar toch: een heel volle verdieping. Dan hou je nog 19 over: weer en volle bak, op het laagste niveau:

De bovenbouw groep is flink uitgebreid, dus ook hier even een leerling exposé omtrent het talsysteem. Daarna de grote uitdaging: de Maya kalender. De Maya’s hebben heel goed nagedacht over hun kalender. Met de leerlingen stonden we even stil bij onze kalender: dag, 7 dagen in een week (waarom 7, we hebben toch een tientallig systeem?), 52 weken in een jaar (52 ???), ongeveer 30 dagen in een maand, ongeveer 365 dagen in een jaar. Wat een waardeloos systeem, wat een rare structuur! De Maya’s wilden graag dicht bij hun telsysteem blijven, maar ook het ‘bioritme’ van de aarde volgen. Dus een dag (kin) is een dag, dan 20 (natuurlijk!) dagen in de maand (uinal), en liefst 20 maal 20 dagen in een jaar. Maar dat was ze te gek, dus dan maar 18 maal 20 dagen in een jaar of 18 maanden in een jaar(tun). En dan hadden ze nog 5 ‘extra’ dagen. Dan heb je mooi 365 dagen. Daarna werd gewoon weer de 20 factor gehanteerd: 20 jaar (katun) is 20 maal 360 dagen, dus 72000 dagen, en een baktun is weer 20 keer zo groot (144000).

Ze vinden het fascinerend. En moeilijk. Maar uitdagend. De rest van de les gaan ze ontcijferen op welke dag Vogel-Jaguaar streed met zijn vijand Juweel-Schedel:

 Het bleek dag 1412661 te zijn. Maar goed, dit was dan ook de bovenbouw. En er parelden zweetdruppels op sommige hoofden.

De Maya’s rekenen ermee

 

Een beetje spannend is het wel: kijken hoever je de leerlingen uit kunt dagen die nauwelijks gewend zijn buiten de gebaande paden te treden, dat wil zeggen taal en rekenen. Alhoewel….het onderwerp van vandaag leent zich uitstekend om hun inzichten betreffende het decimale stelsel te toetsen, dan wel te verdiepen: het getallenstelsel en de kalender van de Maya’s. De Maya’s? Nooit van gehoord. Degenen die denken een gokje te durven wagen komen met alle werelddelen aan, behalve Amerika. De onderbouw leerlingen zijn topografisch duidelijk minder onderlegd: zij weten de Amerika’s nauwelijks te vinden op de kaart, en lichte hints zoals:’Iets noordelijker’ slaan niet echt aan.

Vragen die gesteld worden door mij worden verbonden aan een introductiefilmpje van het History Channel, klik hier om te bekijken.

Negentig seconden lang, met een gezellig meedeinmuziekje op de achtergrond. De discussie daarover geeft de kinderen een beetje context: bijzonder volk, leefde van ongeveer 1000vC tot 1200 nC, kon goed schrijven en rekenen, had scholen, bibliotheken, sportstadiums, had uitstekende astronomen, een twintigtallig talstelsel (inderdaad: we hebben 10 vingers en 10 tenen), en dan natuurlijk de wereldberoemde kalender! Dat wist een enkeling dan weer wel: de aarde vergaat 21 december 2012.

Na wat plaatjes van de handelsstad El Mirador toen en nu gaan we wat dieper:

De Maya’s kenden net als ons ook het jaar nul, maar ze hadden daarvoor wel een andere datum, namelijk 13 augustus 3114 voor Christus (omgerekend). Vanaf die dag werd geteld en wel 5200 tuns (1 tun is 360 dagen) lang. Hun kalender was dus ontworpen voor ongeveer 5200 jaar: -3114 + 5200 is ongeveer 2012, vandaar dus. Dat vonden ze wel heel erg interessant.

Hoe bouw je eigenlijk zo’n pyramide, en waarom zie je over de hele wereld pyramides, terwijl die mensen echt geen contact met elkaar hadden? En hoe maak je daar gangen in zonder dat de boel instort?

Er was in de bovenbouw een jongen die net een spreekbeurt had gehouden over Zuid-amerikaanse culturen en ons wist te vertellen dat de vier trappen van zo’n pyramide 365 treden hadden. Waarop een andere knul; vroeg hoe dat nou kon: je kon 365 toch niet door 4 delen?

Op naar de kern van de zaak:

Een stuk uit een tempel, en zowel onderbouw- als bovenbouw leerlingen begrijpen haast intuïtief dat het tweede getal b. 6 moet zijn: vijf voor de balk en 1 erboven. Simpel. De andere vier getallen geven geen enkele leerling een probleem: a = 16, b = 6, c =16, d = 18.

Uit een Amerikaans boekje (Digging Numbers, Encyclopaedia Brittanica, 2007) waarvan ikzelf mede auteur ben komt de volgende bladzijde:

Dat het getal 17 en 19 worden geschreven zoals op dit blad wekt geen enkele verbazing: noch bij de onderbouw leerlingen, noch bij die van de bovenbouw. Maar dan komt het cruciale leermoment. Omdat de Maya’s uitgaan van een twintigtallig stelsel is het blokje ‘vol’ bij 19 ofwel drie balken van 5, en vier bolletjes van 1. Vervolgens vonden ze deze oplossing: gewoon een nieuw blokje erbovenop, voor de twintigtallen. Dus:

is 21, want het onderste blokje bevat 1 punt, en dat betekent gewoon 1 (x 1). Het ‘tweede verdieping’s blokje heeft 1 bolletje, dat betekent hier:  1 maal 20. Totaal dus 21. Prachtig om te zien hoe sommigen dit ‘onmiddellijk’ inzien, terwijl een enkeling toch even wil nadenken. Hier gaan leerlingen elkaar onderling ondervragen. De spanning in de groep stijgt. Maar alle leerlingen die er zijn komen minstens tot hier. De onderbouw heeft daar het volledige uur nodig, de bovenbouw drie kwartier.

De vraag die volgt na de intikkertjes a. en b. (antwoorden:  a =  106,  b =  53) is natuurlijk: ”Wat is het grootste getal dat je kunt maken met twee blokjes?”

Als je nog even terugkijkt naar de eerste opgaven weet je dat een blokje ‘vol’ is bij 19. Dat helpt behoorlijk om in te zien dat twee ‘volle’ blokjes op elkaar 399 opleveren: 19 x 1  plus 19 x 20.

Dat leidt tot de conclusie: de waarde van ieder bolletje in de volgende verdieping moet dan 400 zijn. “Ja”, roept een meisje enthousiast, 20 maal 20 natuurlijk!”. Ik vraag ze om nu zelf wat blokjes te maken, naar eigen invulling, en dan de getallen ernaast te zetten. Prachtig om te zien dat ze de uitdaging aangaan, en heel veel alkaars antwoorden en kunstwerken laten zien.

De les loopt ten einde, nog 5 minuten. Als samenvatting krijgen ze dit te zien:

 

Voor deze bovenbouwers bijna een belediging. Wat denk ik wel? Ok, ze willen een uitdaging? Kunnen ze krijgen: samen met de leerlingen bedenk ik een willekeurig getal. Het wordt  467839. Een getal met 6 ‘verdiepingen’ in ons stelsel: die verdiepingen zijn x 1,  x 10, x 100, x 1000, x 10000, x 100000. Zonder dat het gevraagd hoeft te worden merken ze op dat de Maya’s minder verdiepingen nodig hebben dan wij voor hetzelfde getal. Prachtig inzicht. Maar van de Maya notatie naar ons stelsel is een eitje vergeleken bij het omgekeerde. Ik geef toe: ik moest ook even nadenken, maar het handigheidje is simpel: de vijfde verdieping bij de Maya’s is 160.000 en de zesde maar liefst 3.200.000. Daar komen we dus niet.

Dan ligt de volgende vraag ‘voor de hand’: hoe veel moet er in het blokje van de vijfde verdieping? Simpel: meer dan twee bolletjes (2 x 160.000) gaat niet. Dus 320.000 is weggezet op de vijfde verdieping. Hebben we nog 147830 over. Dat laten we even aan de lezer over. Alle bovenbouw leerlingen kwamen er nu uit. Met vernieuwde en verdiepte inzichten. En ze vonden het ook nog leuk!

O ja, die kalender, die komt nog aan de beurt.

 

 

 

 

 

 

 

Nautilus

Alles ligt klaar: een nautilus schelp, een doorgesneden Nautilus schelp, twee denneappels, met gekleurde spiralen erop geverfd, een lijstje van You-Tube filmpjes, grote vellen ruitjes papier (flip-over formaat), viltstiften, en de multimedia hardware. De twintig kindertjes zijn de weken ervoor al bezig geweest met schelpen sorteren en serieëren, en iedereen versteld doen staan van hun interesse en dorst naar kennis, gevoed door nieuwsgierigheid en verwondering. En enkel kind had van oma of opa nog een mooie exoot gevonden en die geclassificeerd als tweekleppige of slak.

Ademloos wordt gekeken naar het filmpje van een zwemmende Nautilus. Wat ziet die er mooi uit! Dan wordt de schelp er bijgehouden in het echt, zo’n 25 cm groot. Even vasthouden natuurlijk. Een presentatie met PP laat enkele aspecten zien van deze bijzondere ‘schelp’ eigenlijk een inktvis: het is een levend fossiel en is in zo’n 500 miljhoen jaar nauwelijks veranderd. Hij heeft een grote kop met ogen die niks zien en zo’n 90 tentakels.
Dan zien ze een foto van de doorsnede. Allemachtig, dat is prachtig:

Ze horen hoe de nautilus groeit, en dat levert gelijk de verklaring voor de prachtige structuur. Dan komt het origineel denken om de hoek: waarom zitten die pijpjes tussen de kamers (zie foto)? Het duurt altijd even, of het nu kleine kinderen, grote kinderen, of op academisch niveau verkerende volwassenen betreft, maar uiteindelijk komt er iemand met de suggestie dat het iets te maken moet hebben met naar boven en naar beneden bewegen. Bingo! Vandaar is het een kleine stap horizontaal manoevreren: “hij blaast zich naar achteren”. De Nautilus: duikboot en raket tegelijk, en een superieure constructie die bestand is tegen een druk van 800 meter water!

Nu wordt het nog spannender: eerst een prachtige animatie van het grien van de nautilus, en dan een meetkundige methode om de Spiraal van de Nautilus te tekenen. De kinderen zijn niet stoppen, en de vellen papier worden aan elkaar geplakt:

Foto’s: Els Feijs
Na de tekening volgt dan (natuurlijk) de Rij van Fibonacci: de lengtes van de zijden van de vierkanten van de tekening. En ook hier zijn ze niet te stoppen:

Ze gaan natuurlijk letterlijk hun getallenboekje te buiten. Out-of-hun-eigen-boxje, als het ware. Maar het verhaal is nog lang niet klaar, want Meester Jan heeft ook nog wat dennenappels meegenomen, en daarbij de kwast gehanteerd:

En dus weer Fibonacci getallen. De verwondering slaat nog verder door naar enthousiasme. De ‘les’ ging nog langer door, maar de essentie staat er al.
Twee weken later deden we de zelfde activiteit met de ouders van deze kinderen. Tja, die kunnen een voorbeeld nemen aan hun kinderen. Dat weten ze nu ook. Ouders Ogen Geven: een geweldige uitdaging.